无穷小量高阶下的黎曼几何

微分几何可推广至允许任意阶无穷小量。本文旨在表明，如此发展的理论以有趣的方式拓展了既有几何思想，蕴含未来探索的丰富潜力。首要之事是赋予高阶切向量这一概念——其由交换代数抽象定义——以基于空间直觉的可操作解释。随后我们引入所谓喷射联络（jet connection）的微积分，即一种以高阶切向量为自变量的通常仿射联络的扩展，从而使我们能赋予沿高阶切向量方向的平行输运以意义——据我们所知，此前从未被考虑过。在将黎曼度量张量推广至包含对直至任意阶无穷小量的依赖后，我们得到了列维-奇维塔联络与黎曼曲率张量的自然类比，其展现出根植于不同阶无穷小量间相互作用的新现象。最后在积分一侧，我们发展了适应于可能高于一阶微分之被积函数的内在积分理论，以期最终定义可应用于广义相对论的一般作用量泛函。