走向几何积分理论

积分是将无穷小论证转化为适用于有限大小量的结果时的最终关键步骤。在概念上，它是将无穷小贡献组合成一个有限整体。我们通过分析积分过程的微分方面，在综合微分几何（Synthetic Differential Geometry, SDG）的背景下，向建立积分的几何理论迈出了第一步。从两个启发式原则出发——它们将微分形式作为无穷小测度的思想结合起来，同时形式化了取无穷小差分的过程——我们导出了微分形式的一般概念，即从无穷小 $n$-长方体到为直线配坐标的基环的等变映射。除了 Cartan 引入的熟悉的微分形式外，我们还发现了两种新类型。我们还发现了一个除外导数之外的新微分算子。类似于外导数与 Stokes-Cartan 积分定理之间的关系，正如先前研究所讨论的，这个新算子与高维广义微积分基本定理相关联。这表明微积分基本定理是一个类似于 Stokes-Cartan 的积分定理，但适用于其中一种新类型的微分形式。