积分的几何定义及其应用

微分形式积分的标准定义基于局部坐标和单位分解。这一定义主要是一种形式化表述，并未用于显式计算或近似方案。我们转而提出了一种使用三角剖分的积分定义。我们的定义是 $\mathbb{R}^n$ 上 Riemann 积分标准定义的无坐标版本，并且我们认为在 Lie algebroid、随机积分和量子场论的背景下（其中路径积分是使用格点定义的），这是自然的定义。特别地，我们的定义自然地纳入了不同的随机积分，这些积分涉及对 H"{o}lder 连续路径的积分。此外，我们的定义非常适合从积分恒等式的组合对应物来建立该恒等式。我们的构造基于以下观察：在极大的普遍性下，被积分的对象由对偶群胚上的上链决定。抽象地说，我们的定义使用 van Est 映射将微分形式提升到对偶群胚。我们的构造提出了微积分基本定理的一种推广，并证明了该定理：上闭链与基本类的奇异上同调与 de Rham 上同调帽积是相等的。