作为无界$KK$-圈的余维一黎曼嵌入

给定黎曼spin$^c$-流形$X \to Y$的余维一黎曼嵌入$\imath:X \to Y$,我们构造一族从$C(X)$到$C_0(Y)$的无界$KK$-圈$\{\imath_!^ \epsilon\}_{0< \epsilon< \epsilon_0}$,每个都配备联络$\nabla^\epsilon$且都表示回拉类$\imath_! \in KK(C(X), C_0(Y))$。我们计算了$\imath_!^\epsilon$与$Y$上狄拉克算子$D_Y$的无界积,并证明这对所有$\epsilon$都表示基本类$[X] = \imath_! \otimes [Y]$的$KK$-理论分解。在极限$\epsilon \to 0$下,积算子容许形如$\frac{1}{\epsilon} T + D_X + \mathcal{O}(\epsilon)$的渐近展开,其中“发散”部分$T$是表示$KK(\mathbb{C}, \mathbb{C})$中单位的指标圈,而常数“重整化”项是$X$上的狄拉克算子$D_X$。进一步证明了$(\imath_!^\epsilon, \nabla^\epsilon)$的曲率在$\epsilon \to 0$时收敛于$\imath$的平均曲率的平方。