微扰 QFT 中的 RG 极限环与非传统不动点

我们研究了 $3-\epsilon$ 维中具有六次相互作用的量子场论,其中标量场 $\phi^{ab}$ 在 $O(N)^2$ 或 $O(N)$ 整体对称群下形成不可约表示。我们计算到四圈阶的 beta 函数并找到重整化群不动点。在一个大 $N$ 等价性的例子中,母理论 $O(N)^2$ 及其反对称投影展现出相同的大 $N$ beta 函数,其具有实不动点。然而,对于投影到 $O(N)$ 的对称无迹表示,大 $N$ 等价性因出现一个未继承自母理论的额外双迹算符而被破坏。在该子理论的大 $N$ 不动点中,我们发现了复 CFT。当对称无迹 $O(N)$ 模型被解析延拓到小的非整数 $N$ 值时,也展现出非常有趣的现象。我们在此发现非传统不动点,称之为“spooky”。它们位于耦合常数 $g^i$ 的实值处,但 Jacobian 矩阵 $\partial \beta^i/\partial g^j$ 的两个本征值为复数。当这些复共轭本征值穿过虚轴时,发生 Hopf 分岔,产生 RG 极限环。该穿越发生于 $N_{\rm crit} \approx 4.475$,且在略高于此值的 $N$ 的小范围内,我们发现了导致极限环的 RG 流。