限制标量 Chabauty 方法与 $S$-unit 方程

给定一个亏格为 $g$ 的光滑、真、几何整曲线 $X$，其在数域 $K$ 上具有雅可比簇 $J$，当 $\mathrm{rank}\ J(K) < g$ 时，Chabauty 方法是一种用于界定 $\# X(K)$ 的 $p$-进技术。我们研究了一种称为“限制标量 Chabauty”（RoS Chabauty）的变体的局限性。当 $\mathrm{rank}\ J(K) \leq [K:\mathbb{Q}] (g - 1)$ 时，RoS Chabauty 通常能界定 $\# X(K)$，但在存在子群障碍时会失效。子群障碍是指 $\mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} J$ 的高秩子群概型，它与 $\mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} X$ 的像以高于预期的维数相交。我们定义了 BCP 障碍，它们是由 $X$ 的几何特性引起的某些子群障碍。BCP 障碍解释了所有已知的 RoS Chabauty 无法界定 $\# X(K)$ 的例子。我们还将 RoS Chabauty 扩展到计算仿射曲线上的 $S$-整点。假设 $K$ 不包含 CM-子域。我们提出了一种 $p$-进算法，该算法通过使用 RoS Chabauty 计算某些亏格 $0$ 仿射曲线上的 $S$-整点，猜想可以计算出 $S$-unit 方程 $x+y = 1$（对于 $x,y \in \mathcal{O}_{K,S}^{\times}$）的解。作为算法成功的证据，我们证明了除一条曲线外，所有这些曲线都没有子群障碍，且剩余的那条曲线对 RoS Chabauty 没有 BCP 障碍。相比之下，在广义 Leopoldt 猜想下，我们证明了当 $[K:\mathbb Q] \geq 3$ 且 $K$ 不全实时，使用经典 Chabauty 的类似方法无法界定 $S$-unit 方程的解。