模塑化 Chabauty：椭圆纤维曲线上有效 S-整点计算

我们提出了一种用于确定任意椭圆模问题 $\mathcal{Y}/\mathbb{Z}[1/S]$ 上 $S$-整点的实用、无条件算法——即，确定任何几何连通曲线上携带非等斯托克拉尔纤维 $\mathcal{E} \to \mathcal{Y}$ 的曲线。associated map $\Phi_M: \mathcal{Y} \to \mathcal{M}_{1,1}$（即模块周期图）在 Chabauty 类方法中扮演通常由 $p$-adic 周期图充当的角色。我们的模塑化 Chabauty 方法研究 $\Phi_M$ 的像和纤维，分为两个步骤：有效的 Shafarevich 步骤，其中我们将模块性定理与 Cremona 对椭圆曲线按导数分类相结合，列出所有在 S 之外拥有良好约化的有理椭圆曲线；以及纤维计算步骤，其中我们计算 $\Phi_M$ 对应纤维中的 $S$-整点。一个 Python/Sage 实现可在标准计算机上 3.5 秒内计算 $\mathcal{Y}(\mathbb{Z}[1/S])$，其中 $\mathcal{Y}=\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$，以及所有导数 $4 \le N \le 10$ 或 $N=12$ 的每个模块曲线 $Y_1(N)$，对于所有集合 $S$ 其中 $\prod_{p \in S} p^{2} \le 5 \cdot 10^{5}$。