辛轨形消解及其在有限群作用中的应用

我们将一个规范光滑辛消解 $\pi: \tilde{X}\rightarrow X$ 与每个辛 $4$-轨形 $X$ 相关联；若 $X$ 带有有限群 $G$ 的辛 $G$-作用，则该消解可等变地完成。此外，我们证明了辛 $4$-轨形 $X/G$ 和 $\tilde{X}/G$ 的消解属于同一辛双有理等价类；事实上，$\tilde{X}/G$ 的消解可通过连续吹下辛 $(-1)$-球面归约为 $X/G$ 的消解。对于 $4$-流形 $M$ 上的任何有限辛 $G$-作用，我们关联一个对 $(M_G,D)$，其中 $\pi: M_G\rightarrow M/G$ 是商轨形的规范消解，而 $D$ 是 $M/G$ 奇异集在 $\pi$ 下的原像。我们提议通过分析 $M_G$ 的光滑或辛拓扑以及 $D$ 在 $M_G$ 中的嵌入来研究 $M$ 上的群作用。本文启动了对 $M_G$ 的辛 Kodaira 维数 $\kappa^s$ 的研究。特别地，我们猜想 $\kappa^s(M_G)\leq \kappa^s(M)$。该不等式已在几类辛 $G$-作用中得到验证，包括有理曲面上的任何作用或 $\kappa^s=0$ 的辛 $4$-流形上的作用。