$\mathbf{R}^d$ 中构型空间上同调的表示稳定性

本文研究了在 Church 和 Farb 意义下的表示稳定性，针对对称群 $S_n$ 在 $\mathbf{R}^d$ 中 $n$ 个有序点的构型空间的上同调上的表示。已知该上同调在不能被 $d-1$ 整除的维数外消失；此处证明当 $d$ 为奇数（相应为偶数）时，在 $i(d-1)^{st}$ 上同调上的 $S_n$-表示在 $n=3i$（相应 $n=3i+1$）处急剧稳定。该结果源于分析已知控制上同调的 $S_n$-表示：对于 $d$ 为偶数的集合划分格的 Whitney 同调，以及对于 $d$ 为奇数的更高 Lie 表示。类似分析表明，划分格中任意秩选子偏序集的同调在 $n\geq 4i$ 时稳定，其中 $i$ 是所选的最大秩。还证明了 Whitney 同调的进一步性质以及对于 $S_n$-等变分支的更精细稳定性陈述，包括 J. Wiltshire-Gordon 的猜想。