Tonelli 哈密顿量的全局粘性解表示

我们考虑与非平稳哈密顿-雅可比方程 $\partial_tu + H(t,x,\partial_xu) = \alpha_0$ 关联的 Lax-Oleinik 算子 $\mathcal{T}$，其中 $H$ 为 Tonelli 哈密顿量，$\alpha_0$ 为其 \Mane critical value。据 A. Fathi 和 J.N. Mather 的工作已知，在非自治框架下，该 semigroups 的收敛性失效。在此背景下，我们研究 $\mathcal{T}$ 在其非wandering 集合 $\Omega(\mathcal{T})$ 上的作用。首先，我们证明 $\mathcal{T}$ 在该集合上作为等距作用，然后我们将 $\Omega(\mathcal{T})$ 描述为哈密顿-雅可比方程的全局粘性解的集合，即定义所有实时刻的解。接下来，我们引入广义 Peierls 屏障 $\underline{k}$ 和一组广义静态类 $\underline{\mathbb{M}}$ 于 Mather set 中。利用这些，我们将 $\Omega(\mathcal{T})$ 中的元素 $u$ 表示为 \begin{equation*} u(x) = \inf_{y \in \underline{\mathbb{M}}} \{ u(y) + \underline{k}(y,x) \} \end{equation*} 我们将此表示公式用于证明自治系统的 Fathi 收敛定理，并为 $n$ 周期粘性解提供表示公式。此外，我们证明了非wandering 粘性解的动力学由 Mather set 上的拉格朗日流决定。具体而言，我们证明如果 Mather set 仅由某个整数 $N$ 的 $N$ 周期轨道组成，则所有非wandering 粘性解都是 $N$ 周期的。进一步地，我们证明如果拉格朗日流对 Mather set 的限制对某个时间序列 $p_n$ 是均匀 recurrence 的，则所有非wandering 粘性解对相同的序列 $p_n$ 也是均匀 recurrence 的。