关于非线性弹性与反平面剪切问题解析解的评注

本文重访了由 Knowles 于 1976 年提出的被广泛研究的反平面剪切变形问题，以及 Gao 自 1998 年以来提出的通用非线性弹性解析解。基于最小势能原理，我们得到了用于等容变形的一个确定良好的完全非线性系统，该系统在无椭圆性约束下允许有限反平面剪切的非平凡状态。通过运用规范对偶理论，针对由广义新胡克模型控制的的三维有限变形问题，获得了一组完整的解析解。借助三对偶理论，辨识了非凸变分问题的全局与局部极值解。揭示了非凸分析中的挑战与计算科学中 NP-hard 问题之间的关联。证明表明，一般完全非线性边值问题的椭圆性条件不仅取决于微分算子，还敏感地依赖于外力场。一般反平面剪切变形的均匀超弹性必须由广义新胡克模型支配。Knowles 的过定系统仅仅源于一个伪拉格朗日乘子以及平面内的两个额外平衡条件。其定理中的本构条件在 $b = \lambda/2$ 时自然满足。他的椭圆性条件对于均匀材料允许非平凡反平面剪切状态既非必要也非充分。