圣维南-基尔霍夫材料三维有限变形问题的解析解

本文对有限变形理论中一般非线性边值问题的解析解进行了详细研究。基于 Gao 于 1999 年提出的规范对偶理论（canonical duality theory）及非线性弹性中的纯余能原理（pure complementary energy principle），我们证明了变形的通用非线性偏微分方程实际上等价于应力空间中的代数（张量）方程。对于圣维南-基尔霍夫材料，这一耦合三次代数方程原则上可解，从而获得所有可能解。我们的结果表明：对于任意给定的外部源场，只要静力容许的第一类皮奥拉-基尔霍夫应力场具有非零特征值，该问题便存在唯一的全局极小解，对应于正定的第二类皮奥拉-基尔霍夫应力 S，以及至多八个对应于负定 S 的局部解。此外，该问题还可能有 15 个对应于不定 S 的不稳定解。本文证明了规范对偶理论与纯余能原理在非凸分析与有限变形理论中起着基础性作用。