非线性弹性力学中的隐藏凸性

本文提出了一种为非线性弹性静力学和弹性动力学的控制偏微分方程建立凸对偶变分原理的技术。这使得我们能够定义对应于非线性弹性偏微分方程的变分对偶解和对偶解的概念，即使这些方程是作为对应于非拟凸弹性能量泛函的形式欧拉-拉格朗日方程出现，且其能量极小化元不存在。我们以圣维南-基尔霍夫材料（在所有维度下）的弹性静力学情形为例，严格证明了这一点，并同时证明了变分对偶解的存在性。对于二维不可压缩 neo-Hookean 材料，也展示了变分对偶解的存在性。利用对偶方法，计算了一维空间中对应于非凸双阱能量的有应力和无应力弹性静力学与弹性动力学解。特别地，我们展示了一种对偶弹性动力学平衡解的稳定性，该解中存在具有负弹性刚度（即非双曲区域）且长度非零的区域，其对应的原始问题是病态的，并表现出爆炸性的“阿达玛不稳定性”；这似乎对宏观力学响应中物理观测到的软化行为的建模具有启示意义。