一般三角剖分下平面双调和方程的最优分段三次非协调有限元格式

本文提出一种用于平面双调和方程的非协调有限元格式，其采用分段三次多项式 ($P_3$)，并在一般形状正则三角剖分上于能量范数下具有 $\mathcal{O}(h^2)$ 的收敛阶。研究了 Dirichlet 与 Navier 型边值问题。该格式的基础是分段三次多项式空间，其能以 $\mathcal{O}(h^2)$ 精度在破碎 $H^2$ 范数下逼近 $H^4$ 函数。此外，在新设计的空间上证明了等价关系 $(\nabla_h^2\ \cdot,\nabla_h^2\ \cdot)=(\Delta_h\ \cdot,\Delta_h\ \cdot)$，该关系对非协调有限元空间通常不成立。该有限元空间并不对应于用 Ciarlet 三元组定义的有限元；然而，仍给出了一组该有限元空间的局部支撑基函数。有限元 Stokes 复的概念在分析以及基函数构造中起着重要作用。