关于Farey分数自旋链的注记

1999年，Kleban与Özlük引入了一种“Farey分数自旋链”，并就具有给定能量的态的渐近数量提出了一个猜想，后者（经某种归一化后）由矩阵数$\Phi(N)$给出，这些$2\times2$矩阵作为$\bigl(\!\begin{smallmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{smallmatrix}\!\bigr)$与$\bigl(\!\begin{smallmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{smallmatrix}\!\bigr)$的乘积且其迹等于$N$。尽管其猜想被Peter（2001）证伪，但关于平均的相当精确结果已由Kallies–Özlük–Peter–Snyder（2001）、Boca（2007）和Ustinov（2013）的工作所知。我们表明，估计$\Phi(N)$的问题可化为一个关于二次多项式除数问题，该问题在特殊情形已由Hooley（1958）解决，且最近由Bykovskii与Ustinov（2019）在完全一般性下解决。这给出了$\Phi(N)$的一个无条件估计，而此前仅由Kallies–Özlük–Peter–Snyder的工作在依赖于某些Dirichlet $L$-函数具有宽泛无零区域的条件下（隐含地）已知。