混合图的H秩与其基础图秩之间的关系

给定顶点集为$V_G$、边集为$E_G$的简单图$G=(V_G, E_G)$，混合图$\widetilde{G}$通过对$G$的某些边定向得到。令$H(\widetilde{G})$表示$\widetilde{G}$的Hermitian邻接矩阵，$A(G)$为$G$的邻接矩阵。$\widetilde{G}$（相应$G$）的$H$-秩（相应秩），记为$rk(\widetilde{G})$（相应$r(G)$），是$H(\widetilde{G})$（相应$A(G)$）的秩。以$d(G)$记$G$的圈空间维数，即$d(G) = |E_G|-|V_G|+\omega(G)$，其中$\omega(G)$为$G$的连通分支数。本文关注$\widetilde{G}$的$H$-秩与$G$的秩之间的关系。我们首先证明对每个混合图$\widetilde{G}$有$-2d(G)\leqslant rk(\widetilde{G})-r(G)\leqslant 2d(G)$。随后刻画了达到上述下界（相应上界）的所有混合图。借助本文所得结果，可顺推得出\cite{004,1}中获得的所有主要结果。