关联相对熵、最优输运与Fisher信息：一个量子HWI不等式

量子Markov半群刻画了一类重要开放量子系统的时间演化。研究此类半群的收敛性质，并确定其不变态的集中性质，一直是大量研究的焦点。量子版本的功能不等式（如修正对数Sobolev不等式和Poincaré不等式）以及所谓的输运成本不等式，已被证明对此至关重要。经典的功能不等式和输运成本不等式被视为源自一个单一的几何不等式，称为Ricci下界，通过一个在它们之间插值的不等式。后者被称为HWI不等式，其中字母I、W和H分别是Fisher信息（出现在修正对数Sobolev不等式中）、所谓的Wasserstein距离（出现在输运成本不等式中）和相对熵（或Boltzmann H函数，出现在两者中）的首字母缩写。因此，在经典情况下，所有上述不等式及其之间的蕴含关系形成了一幅引人注目的图景，将来自不同数学领域的元素联系起来，如Riemann几何、信息论、最优输运理论、Markov过程、测度集中和凸性理论。在此，我们考虑由Carlen和Maas引入的量子版本Ricci下界，并证明它蕴含一个量子HWI不等式，由此可导出量子功能不等式和输运成本不等式。因此，我们的结果确立了经典框架的统一图景可延续到量子领域。