非本原量子马尔可夫半群的次优收缩性与对数 Sobolev 不等式及退相干率估计

我们将 Olkiewicz 和 Zegarlinski 在量子情形下引入的弱量子对数 Sobolev 不等式（LSI）和弱次优收缩性（HC）的概念推广到非本原量子马尔可夫半群（QMS）的情形。本工作的独创性在于，这一新的次优收缩性概念是根据 Junge 和 Parcet 近期在算子空间理论中引入的所谓合并 $\mathbb{L}_p$ 范数给出的。我们作出三点主要贡献。第一是 Gross 积分引理的一个版本：我们证明（弱）HC 蕴含（弱）LSI。令人惊讶的是，逆蕴含不同于本原情形，因为我们证明 LSI 蕴含 HC，但弱常数等于退相干自由代数的中心基数。基于第一蕴含关系，我们的第二点贡献是：强 LSI 因而强 HC 对于非平凡本原 QMS 不成立。这意味着合并 $\mathbb{L}_p$ 范数在 $1\leq p \leq 2$ 时不是一致凸的。作为第三点贡献，我们利用与 Diaconis 和 Saloff-Coste 在经典本原马尔可夫链情形以及 Temme、Pastawski 和 Kastoryano 在本原 QMS 情形下类似的方法，导出了有限维希尔伯特空间上 QMS 的（弱）对数 Sobolev 常数的普适界。这给出了退相干 QMS 退相干率的新界。此外，我们将结果应用于以 Beigi 和 King 近期为单位保迹 QMS 引入的完全有界范数（CB 范数）表征非交换空间中 HC 的张量化。我们将他们的结果推广到一般本原 QMS 的情形，并给出了（弱）常数的估计。