量子马尔可夫动力学中修正对数Sobolev与Poincaré不等式之间的插值

我们定义了量子$p$-散度，并针对有限维矩阵代数上满足细致平衡条件的本原量子马尔可夫半群引入了Beckner不等式。此类不等式量化了非交换$L_p$-范数下量子动力学的收敛速率。我们获得了Beckner不等式与其他量子泛函不等式以及超压缩性之间的若干蕴含关系。特别地，我们证明了量子Beckner不等式以尖锐方式在Sobolev型不等式与Poincaré不等式之间插值。我们给出了Beckner常数$\alpha_p$关于谱隙的一致下界，并建立了$\alpha_p$关于不变态的稳定性。作为应用，我们计算了去极化半群的Beckner常数并讨论了混合时间。对于对称量子马尔可夫半群，我们导出了矩估计，并进一步蕴含了一个集中不等式。我们引入了一类新的量子传输距离$W_{2,p}$，它通过Carlen和Maas [J. Funct. Anal. 273(5), 1810-1869 (2017)]的量子2-Wasserstein距离与非交换$\dot{H}^{-1}$ Sobolev距离进行插值。我们证明了具有$\sigma$-GNS细致平衡的量子马尔可夫半群是关于度量$W_{2,p}$的量子$p$-散度的梯度流。我们证明了装备$W_{2,p}$的量子态集合是一个完备测地空间。我们随后通过$p$-散度的测地凸性考虑相关的熵Ricci曲率下界，并得到一个HWI型插值不等式。这使我们能够证明正的Ricci曲率蕴含量子Beckner不等式，并由此可推出传输代价与Poincaré不等式。