弹塑性硬化理论中两种标准模型的 regularity 结果

我们考虑任意维数 $d\ge 2$ 下弹塑性硬化理论中研究最多的两种标准模型，即运动硬化与各向同性硬化问题。尽管解的存在唯一性已为人熟知，但其直至边界的最优正则性仍是一个开放问题。本文中，我们证明在内部应力与硬化具有 Sobolev 正则性，而其时间导数在空间与时间变量上具有“半阶”导数。这对于极限问题是众所周知的，但我们证明这些估计是一致且独立于逼近阶数的。主要新颖性在于边界附近的估计。我们证明对于应力与硬化参数，我们在 Lebesgue 空间 $L^2$ 中控制切向导数；对于应力与硬化的时间导数，我们控制“半阶”时间导数以及空间切向导数。最后，对于法向导数，我们证明应力与硬化关于法向具有 $3/5$ 阶导数，而对于应力与硬化的时间导数，我们证明它们关于法向具有 $1/5$ 阶导数，前提是我们考虑运动硬化或靠近 Dirichlet 边界。这些估计与维数无关。若我们考虑靠近 Neumann 边界的各向同性硬化，则将获得应力与硬化的 $W^{\alpha,2}$ 正则性，其中某些 $\alpha>1/2$ 依赖于维数，以及应力与硬化时间导数的 $W^{\beta,2}$ 正则性，其中某些 $\beta > 1/6$。最后，在运动硬化情形下，同样的正则性估计对速度梯度也成立。