基于贝urling变换的 C^1 与 Lipschitz 区域正则性

设 D 为有界平面 C^1 区域，或“足够平坦”的 Lipschitz 区域，并考虑 1_D（D 的特征函数）的 Beurling 变换。利用先验估计，本文解决了如下自由边界问题：若 1_D 的 Beurling 变换属于 Sobolev 空间 W^{a,p}(D)，其中 0<a\leq 1，1<p<\infty 且满足 ap>1，则 D 的边界 bD 上的外法向单位向量 N 属于 Besov 空间 B_{p,p}^{a-1/p}(bD)。其逆命题由 Cruz 和 Tolsa 先前证明，同样成立。因此，B(1_D) 属于 W^{a,p}(D) 当且仅当 N 属于 B_{p,p}^{a-1/p}(bD)。结合 Cruz、Mateu 和 Orobitg 的最新结果，由上述等价关系可推知：在假设 ap>2 的条件下，Beurling 变换在 W^{a,p}(D) 中有界当且仅当外法向单位向量 N 属于 B_{p,p}^{a-1/p}(bD)。