通过边界上的 Riesz 变换刻画区域正则性

给定 $\mathbb{R}^d$ 中的一个区域 $D$，在其边界上满足温和的几何测度论假设，我们证明主值 Riesz 变换（具有 $-(d-1)$ 阶齐次核）在 $D$ 的边界上的 $\alpha$ 阶 Hölder 空间上的有界性等价于 $D$ 是一个 $\alpha$ 阶 Lyapunov 区域（即 $D$ 的边界是一个 $1+\alpha$ 类超曲面）。还讨论了另一个涉及 $D$ 上 Riesz 变换的等价条件。我们也证明了在 $\alpha$ 阶 Lyapunov 区域上，与奇多项式相关联的高阶 Riesz 变换在 $D$ 的边界上的 $\alpha$ 阶 Hölder 空间上是有界的。最后，考虑了上述结果的一个极限情形，涉及 VMO 和 Semmes-Kenig-Toro 区域。