通过二部刚性实现多结合多面体

令 $Ass_k(n)$ 表示 $\binom{n}{2}$ 中无 $(k+1)$-交叉的边子集的单纯复形。这里 $k,n\in \mathbb{N}$ 且 $n\ge 2k+1$。推测该单纯复形是多面体的（Jonsson 2005）。然而，尽管近期取得了若干进展，这仍是一个开放问题。本文中，我们采用刚性矩阵的各行作为向量构型，即限制于二部图的超连通性，来攻克此问题。我们看到，以此方式，$Ass_k(n)$ 在 $k=2$ 且 $n\le 10$ 时可实现为多面体，在 $k=2$ 且 $n\le 13$ 以及 $k=3$ 且 $n\le 11$ 时可实现为扇。然而，我们也证明了 $k\ge 3$ 且 $n\ge \max\{12,2k+4\}$ 的情形无法以此方式实现。我们还给出了刚性拟阵的代数解释，将其与行列式簇的投影相联系，并对矩阵补全具有启示意义，且证明了在该簇 tropicalization 中存在同构于 $Ass_{k-1}(n-2)$ 的扇。