基于刚性理论的多重结合多面体实现

令 $\Delta_k(n)$ 表示 $\binom{[n]}{2}$ 中无 $(k+1)$-交的边子集的单纯复形。此处 $k,n\in \mathbb N$ 且 $n\ge 2k+1$。Jonsson (2003) 证明了（忽略不可能属于任何 $(k+1)$-交的短边）$\Delta_k(n)$ 是一个维数为 $k(n-2k-1)-1$ 的可剖球，并猜想其为多胞形。Knutson 与 Miller (2004) 在子词复形的工作中提出了相同的结果与问题。尽管付出了大量努力，该猜想已知成立的 $(k,n)$ 仅有 $n\le 2k+3$（Pilaud 与 Santos, 2012）以及 $(2,8)$（Bokowski 与 Pilaud, 2009）。利用刚性理论的思想并沿矩曲线选取点，我们实现了 $\Delta_k(n)$ 在 $(k,n)\in \{(2,9), (2,10) , (3,10)\}$ 时作为多胞形。我们还将其实现为单纯扇，对所有 $n\le 13$ 及任意 $k$ 成立，除了数对 $(3,12)$ 与 $(3,13)$。最后，我们还证明了对于 $k\ge 3$ 且 $n\ge 2k+6$，无论沿矩曲线取点（杆-关节刚性）还是更一般地取任意凸位置点（余因子刚性），均无法通过刚性实现 $\Delta_k(n)$。