非交叉集合与Gra{\ss}mann结合多面体

我们研究了[n]中元素对之间的非交叉关系到[n]中k元组的自然推广，该推广最初由Petersen, Pylyavskyy, Speyer (2010)考虑。我们给出了他们的结果的另一种方法，即由该关系诱导的$\binom{[n]}{k}$上的旗单纯复形是乘积$[k]\times[n-k]$两个链的偏序集（也称为Gelfand-Tsetlin多面体）的序多面体的正则、幺模和旗三角剖分，并且它是单形和球面的连接（即它是Gorenstein三角剖分）。然后我们观察到，这已经意味着存在一个旗单纯多面体推广了对偶结合多面体，其Stanley-Reisner理想是Gra{\ss}mann-Pl\"ucker理想的初始理想，而之前这种多面体的构造既不能保证旗性质，也不能在k=2时简化为对偶结合多面体。在此过程中，我们提供了关于序多面体及其三角剖分的一般结果。我们将该单纯复形称为非交叉复形，并将由此导出的多面体称为对偶Gra{\ss}mann结合多面体。我们扩展了Petersen, Pylyavskyy, Speyer (2010)的结果，表明非交叉复形和Gra{\ss}mann结合多面体自然地反映了不同参数下Gra{\ss}mann流形之间的关系，特别是同构$G_{k,n} \cong G_{n-k,n}$。此外，我们的方法使我们能够证明非交叉复形的邻接图具有自然的无环定向，这允许我们在最大非交叉族上定义Gra{\ss}mann-Tamari序。最后，我们考察了非交叉复形与Leclerc, Zelevinsky (1998)的弱可分性复形之间的精确关系，并表明弱可分性复形是非交叉复形的循环不变部分。