正 tropical 线性空间的非交叉二元性与几何

虽然正 Grassmannian 通过 plabic 图和 positroid 单元格的丰富组合学已被深入理解，但其 tropical 对偶面——正 tropical Grassmannian Trop$_{>0}G(k,n)$——尚缺乏相当的结构框架来处理一般 $k$。Trop$_{>0}G(k,n)$ 的全局面结构以及它参数化的 tropical 线性空间的内部度量几何长期以来基本未被探讨。本文构建了一套系统的代数和多面体基础，以解决这一问题。我们框架的引擎是一种基本的 tropical 二元性，类似于 cluster variable（或更准确地说，其 $u$-坐标）与 $\mathbf{g}$-vector 之间的二元性，将由第一作者引入的两种对象配对：tropical Plucker 向量的平面基与正配置空间上的平面交叉比。我们证明，这种二元性将正 tropical Grassmannian的 fan 结构与 Santos、Stump 和 Welker 的非交叉 fan 联系起来，给出 Trop$_{>0}G(k,n)$ 的整数点与非交叉表之间的全局双射。随后我们研究离散组合数据如何控制正 tropical 线性空间的连续度量几何。我们将整数正 tropical 线性空间的有界复合体实现为中心屋顶函数在 hypersimplex 上的次微分，并利用该实现将其嵌入基本 alcoved simplex 的一个扩张中。平移因子（即复合体的几何直径）由单个不变式控制，即平面运动学（$K$）权重，我们证明其等于关联非交叉表的列数。本工作的结果在我们并行的关于更高 tropical Grassmannian scaffold 的工作中得到应用。