[m] × [n] 关于 x_1 + x_2 = x_3 的彩虹数

考虑集合 $[m]\times [n] = \{(i,j)\, : 1\le i \le m, 1\le j \le n\}$ 与方程 $x_1+x_2 = x_3$，记为 $eq$。$[m]\times [n]$ 关于 $eq$ 的彩虹数，记作 $\text{rb}([m]\times [n],eq)$，是指最小的颜色数，使得对于 $[m]\times [n]$ 的每一个满射 $\text{rb}([m]\times[n], eq)$ 染色，必然存在 $eq$ 的一个解（采用分量加法），且该解集中每个元素被赋予不同颜色。本文确定了对于所有大于或等于 $2$ 的 $m$ 和 $n$，均有 $\text{rb}([m]\times [n], eq) = m+n+1$。