针对 $x-y=z^2$ 的彩虹自由染色与彩虹数

集合 $S$ 的精确 r-染色是一个满射函数 $c:S \rightarrow \{1, 2, \ldots,r\}$。方程在 $S$ 上的彩虹解是指所有分量颜色互异的解。我们证明：上密度大于 $(4^s-1)/(3 \cdot 4^s)$ 的 $\mathbb{N}$ 的任意 3-染色都包含方程 $x-y=z^k$ 的彩虹解。集合 $S$ 中方程的彩虹数是最小的整数 $r$，使得任意精确 $r$-染色都有彩虹解。我们计算了素数 $p$ 且 $k\geq 2$ 时 $\mathbb{Z}_p$ 中方程 $x-y=z^k$ 的彩虹数。