广义 Schur 方程 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{m-1} = x_m$ 的彩虹数

我们考虑彩虹 Schur 数 $RS_m(n)$，其定义为使得 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的每一种使用了全部 $RS_m(n)$ 种颜色的着色都包含方程 $x_1+x_2+\cdots +x_{m-1}=x_m$ 的彩虹解的最小颜色数。最近，对于所有 $n$，$RS_3(n)$ 和 $RS_4(n)$ 的精确值已被确定。在本文中，我们扩展了这项工作，给出了一个适用于所有 $m \geq 4$ 和所有 $n$ 的 $RS_m(n)$ 公式。本文还考虑了彩虹 Schur 数的一种弱化版本，在此版本中，对于固定的 $t \leq m$，寻找上述线性方程至少使用 $t$ 种颜色的解。