类Schur数及Shearer的一个引理

假设数字$1,2,...,N$中的每一个都被分配了n种颜色之一。我们证明，如果方程$x_1+x_2+x_3=y_1+y_2$没有单色解，那么$N=O((n!)^{1/2})$，改进了Cwalina和Schoen的一个结果。此外，对于避免方程$x_1+x_2+...+x_{12}=y_1+y_2+...+y_9$解的着色，我们证明了更强的界$N=O(((n-k)!)^{1/2})$，其中$k\gg\frac{\log n}{\log\log n}$。最后，对其他方程给出了一些评注。