关于乘法方程的单色解个数

Prendiville 提出了以下问题：给定区间 $\{2, \dotsc, N\}$ 的一个 $r$-染色，方程 $xy = z$ 的单色解的最少个数是多少？对于 $r=2$，我们证明总渐近地至少存在 $(1/2\sqrt{2}) N^{1/2} \log N$ 个单色解，且前导常数是紧的。对于 $r=3$ 和 $r=4$，我们得到了直至一个乘法对数因子意义上的紧结果。我们也给出了更多种颜色及其他乘法方程的界。