关于不属于代数的集合与图中的彩虹匹配

受 Grinblat 问题启发，我们研究满足如下条件的最小数 $\mathfrak{v}(n)$：若 $A_1,\ldots, A_n$ 是集合 $X$ 上的等价关系，使得对每个 $i\in[n]$，至少有 $\mathfrak{v}(n)$ 个元素关于 $A_i$ 的等价类是非平凡的，则 $A_1, \ldots, A_n$ 包含一个彩虹匹配，即存在 $2n$ 个不同元素 $x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n\in X$ 使得对每个 $i\in [n]$ 有 $x_i\sim_{A_i} y_i$。Grinblat 曾问及是否对所有 $n\geq 4$ 均有 $\mathfrak{v}(n) = 3n-2$。此前已知的最佳上界为 Nivash 和 Omri 给出的 $\mathfrak{v}(n) \leq 16n/5 + \mathcal{O}(1)$。通过将该问题转化为边着色多重图的设定，我们渐近地肯定了 Grinblat 的猜想，即证明了 $\mathfrak{v}(n) = 3n+o(n)$。