连续维数下的径向积分：欧几里得球体体积的Mellin-Gamma分类

我们对满足尺度协变度为 $x/2$ 且归一化到 $\pi^{x/2}$ 的 $C_c(\mathbb{R}_{>0})$ 上正线性函数进行分类。我们证明唯一满足这些条件的函数由 Mellin--Gamma 测度表示 $$d\mu_x(u) = \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(x/2)}\, u^{x/2 - 1}\, du, \quad x > 0.$$ 该结果是一种刚性陈述：在不假设解析延续、特殊函数或先验公式的情况下，Mellin--Gamma 结构被强制。证明通过对尺度条件进行对数变换，化简为 $\mathbb{R}$ 上的平移不变性，在那里Haar测度的唯一性确定测度直到归一化，后者由高斯积分固定。结果，欧几里得球体积公式 $$V(x) = \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(x/2 + 1)}$$ 作为单位区间的质量被恢复。我们进一步分析诱导的维度移位结构，识别出两个乘子 cocycle，其比是由维数函数 $x$ 给出的 coboundary，并给出通过偏移Bohr--Mollerup定理的独立表述。