一个广义极坐标积分公式及其在 $\mathbb{Z}^d$ 上复值函数卷积幂研究中的应用

本文考虑 $\mathbb{R}^d$ 上一类称为正齐次函数的函数，它们与某些连续的单参数（一般为各向异性）膨胀群良好作用。作为欧氏范数的推广，正齐次函数自然出现在 $\mathbb{Z}^d$ 上复值函数卷积幂的研究中。由于球面测度是单位球面上在欧氏范数对称群下不变的 Radon 测度，对每一正齐次函数 $P$，我们构造 $S=\{\eta \in \mathbb{R}^d:P(\eta)=1\}$ 上在 $P$ 的对称群下不变的 Radon 测度 $\sigma_P$。借助该测度，我们证明了经典极坐标积分公式的一个推广，并导出此情形下的若干推论。随后我们转向 $\mathbb{Z}^d$ 上复值函数的卷积幂及该背景下自然出现的某些振荡积分的研究。凭借我们的积分公式与 Van der Corput 引理，我们建立了卷积幂的 sup 范数型估计；该结果是新的，并部分推广了 [20] 与 [21] 的结果。