几何上的泛函积分

回顾了上覆空间 ${\cal M}/{\cal G}$ 上泛函积分的几何构造。$\cal M$ 无穷小形变余切空间上的内积定义了不变距离与体积形式，即全构型空间上的泛函积分测度。随后，通过参数化规范纤维 $\cal G$ 的简单坐标变换，推导出商空间 ${\cal M}/{\cal G}$ 上的泛函测度。这一积分变量变换导致的雅可比矩阵完全等价于非阿贝尔规范理论中更传统的规范固定方法里的 Faddeev-Popov 行列式。若将一般构造应用于 $\cal G$ 为时空坐标重参数化群的情形，则可定义几何——即模掉坐标重参数化的度规——上的连续统泛函积分。该不变泛函积分测度被用于推导二维与四维时空中度规共形部分的迹反常与有效作用量。在二维，此方法生成闭玻色非临界弦理论的 Polyakov-Liouville 作用量。在四维，相应有效作用量得出了关于引力量子效应在远红外重要性的新结论，特别地，经典 de Sitter 时空的量子不稳定性首先预示了在宇宙学距离尺度上对经典 Einstein 理论的剧烈修正。推导了二维与四维量子引力泛函积分的有限体积标度关系，并讨论了与离散动力学三角剖分几何积分方法的比较。