Frank 数为 $3$ 的图的探寻

在图 $G$ 的一个定向 $O$ 中，边 $e$ 是可删除的当且仅当 $O-e$ 是强连通的。对于 $3$-边连通图 $G$，H"orsch 和 Szigeti 将 Frank 数定义为最小的 $k$，使得 $G$ 容许 $k$ 个定向，且 $G$ 的每条边 $e$ 在这 $k$ 个定向中至少有一个里是可删除的。他们猜想每个 $3$-边连通图 $G$ 的 Frank 数至多为 $3$。他们证明了 Petersen 图的 Frank 数为 $3$，但这是具有该性质的唯一例子。我们给出了一类具有 Frank 数 $3$ 的无限图族。H"orsch 和 Szigeti 证明了每个 $3$-边可着色的 $3$-边连通图的 Frank 数至多为 $3$。人们很自然地将非 $3$-边可着色图视为 Frank 数大于 $2$ 的候选。Snark 图有时是寻找临界例子或反例的良好来源。有人可能怀疑各种 snark 图的 Frank 数应为 $3$。然而，我们证明了若干候选的无限 snark 图族以及广义 Petersen 图 $GP(2s+1,s)$ 的 Frank 数为 $2$。我们根据经验提出了大量猜想。