拟赋范 $C_0$-群与 $\mathcal{D}_E$ 型平移不变 Fr\'echet 空间

设 $E$ 为满足凸紧性质的局部凸 Hausdorff 空间，且 $(T_x)_{x \in \mathbb{R}^d}$ 为 $E$ 上局部等度连续的 $C_0$-群线性连续算子。本文中，我们证明若 $E$ 是拟赋范的，则 $E$ 中与 $(T_x)_{x \in \mathbb{R}^d}$ 相关的光滑向量空间也是拟赋范的。特别地，我们得到 Banach 空间上 $C_0$-群相关的光滑向量空间总是拟赋范的。作为一个应用，我们证明 [8] 中光滑函数的平移不变 Fr\'echet 空间 $\mathcal{D}_E$ 型是拟赋范的，从而解决了 [8, Remark 7] 中提出的问题。此外，我们证明若 $E$ 为实平移不变 Banach 分布空间 [10]，则 $\mathcal{D}_E$ 不是 Montel 空间。这回答了 [8, Remark 6] 中关于实平移不变 Banach 分布空间类的问题。