Montel定理与$\Delta^m$-不变的分布子空间

我们研究在有限差分算子$\Delta_h^m$作用下不变的有限维空间$V$。具体地，我们证明如果$V$是这样一个空间，则存在一个有限维平移不变空间$W$使得$V\subseteq W$。特别地，$V$的所有元素都是指数多项式。此外，$V$允许分解$V=P\oplus E$，其中$P$是多项式空间，$E$是平移不变空间。作为这一研究的推论，我们证明了P. Montel的一个著名结果的推广，该结果指出：如果$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$是一个连续函数，满足对所有$t\in\mathbb{R}$以及某些$h_1,h_2\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$且$h_1/h_2\not\in\mathbb{Q}$有$\Delta_{h_1}^mf(t) = \Delta_{h_2}^mf(t)=0$，则对所有$t\in\mathbb{R}$和某些复数$a_0,a_1,\cdots,a_{m-1}$有$f(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_{m-1}t^{m-1}$。我们使用完全不同的论证证明了相同的结果，不仅适用于普通函数$f(t)$，也适用于复值分布。最后，本文还考虑了对于所有$h_1,\cdots,h_m\in\mathbb{R}$是$\Delta_{h_1h_2\cdots h_m}$-不变的子空间$V$。