拟模Hecke代数和Hopf作用

设$\Gamma=\Gamma(N)$是$SL_2(\mathbb Z)$的一个主同余子群。本文扩展了Connes和Moscovici的模Hecke代数理论，定义了$\Gamma$级拟模Hecke算子代数$\mathcal Q(\Gamma)$。然后，$\mathcal Q(\Gamma)$承载着“余维1叶状结构的Hopf代数$\mathcal H_1$”的作用，该代数也作用于Connes和Moscovici的模Hecke代数$\mathcal A(\Gamma)$。然而，在拟模形式的情形下，我们有若干新算子作用于拟模Hecke代数$\mathcal Q(\Gamma)$。进一步，对每个$\sigma\in SL_2(\mathbb Z)$，我们引入了由$\sigma$扭曲的$\Gamma$级拟模Hecke算子族$\mathcal Q_\sigma(\Gamma)$。那么，$\mathcal Q_\sigma(\Gamma)$是一个右$\mathcal Q(\Gamma)$-模，并配有一个配对$(\_\_,\_\_):\mathcal Q_\sigma(\Gamma)\otimes \mathcal Q_\sigma(\Gamma)\longrightarrow \mathcal Q_\sigma(\Gamma)$。我们证明存在某个Hopf代数$\mathfrak{h}_1$在$\mathcal Q_\sigma(\Gamma)$的配对上的“Hopf作用”。最后，对任意$\sigma\in SL_2(\mathbb Z)$，我们考虑作用于分次模$\mathbb Q_\sigma(\Gamma)=\underset{m\in \mathbb Z}{\oplus}\mathcal Q_{\sigma(m)}(\Gamma)$的各级之间的算子，其中对任意$m\in \mathbb Z$，$\sigma(m)=\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\cdot \sigma$。$\mathcal Q_\sigma(\Gamma)$上的配对可以延拓为$\mathbb Q_\sigma(\Gamma)$上的分次配对，并且我们证明存在一个更大的Hopf代数$\mathfrak{h}_{\mathbb Z}\supseteq \mathfrak{h}_1$在$\mathbb Q_\sigma(\Gamma)$的配对上的Hopf作用。