准赋值与赋值域上的代数

假设 $F$ 是一个具有赋值 $v$ 和赋值域 $O_{v}$ 的域，且 $R$ 是一个 $O_{v}-$代数。我们证明 $R$ 在 $O_{v}$ 上满足 SGB (strong going between)。我们给出了 $R$ 在 $O_{v}$ 上满足 LO (lying over) 的充要条件。利用 [Sa1] 中构造的过滤器 \qv，我们表明如果 $R$ 在 $O_{v}$ 上是无挠的，则 $R$ 在 $O_{v}$ 上满足 GD (going down)。特别是，如果 $R$ 是无挠的且 $(R^{\times} \cap O_{v}) \subseteq O_{v}^{\times}$，那么对于 $\text{Spec}(O_v)$ 中的任何链，$\text{Spec}(R)$ 中都存在覆盖它的链。假设 $R$ 在 $O_{v}$ 上是无挠的且 $[R \otimes_{O_{v}}F:F]< \infty$，我们证明 $R$ 在 $O_{v}$ 上满足 INC (incomparabilty)。此外假设 $(R^{\times} \cap O_{v}) \subseteq O_{v}^{\times}$，我们推导出 $R$ 和 $O_{v}$ 具有相同的 Krull 维数，并给出了 $R$ 的素谱大小的一个界。在关于 $R$ 及其上定义的 \qv 的某些假设下，我们证明 \qv 环在 $O_{v}$ 上满足 GU (going up)。将这五个性质结合起来，我们推导出 \qv 环的素理想任何极大链都位于 $\text{Spec}(O_{v})$ 之上，并存在一一对应关系。