素理想链的极大覆盖

假设 $f:S \rightarrow R$ 是一个环同态，且 $f[S]$ 包含在 $R$ 的中心中。我们研究 $\text{Spec} (S)$ 中的链与 $\text{Spec} (R)$ 中的链之间的联系。我们关注性质 LO（lying over）、INC（incomparability）、GD（going down）、GU（going up）和 SGB（strong going between）。我们为 $\text{Spec} (R)$ 中的每条极大链覆盖 $\text{Spec} (S)$ 中的一条极大链提供了充分条件。我们用极大 $\mathcal D$-链给出了 $f$ 满足性质 GD、GU 和 SGB 中每一个的一些充分必要条件，其中 $\mathcal D \subseteq \text{Spec} (S)$ 是一条非空链。我们证明，如果 $f$ 满足上述所有性质，那么每条极大 $\mathcal D$-链都是 $\mathcal D$ 的完美极大覆盖。我们的主要结果是推论 \ref{equivalent conditions}，在其中我们给出了以下性质的等价条件：对于每条链 $\mathcal D \subseteq {\text Spec} (S)$ 以及每条极大 $\mathcal D$-链 $\mathcal C \subseteq {\text Spec} (R)$，$\mathcal C$ 和 $\mathcal D$ 具有相同的基数。