整环与拟赋值的扩张

设$S$为整环，其分式域为$F$，设$A$为具有$S$-稳定基的$F$-代数。我们证明存在$A$中位于$S$之上的$S$-子代数$R$，其关于$S$的局部化是$A$（我们称这样的$R$为$A$的$S$-良子代数）。我们还表明不存在这样的极小$S$-良子代数。给定$F$上的赋值$v$及其对应的赋值域$O_v$，以及$A$在$F$上的$O_v$-稳定基，我们证明存在$A$上推广$F$上$v$的拟赋值。此外，我们证明$A$上存在无穷递减拟赋值链，均推广$v$。最后，我们给出上述存在性定理的应用；例如，我们表明若$A$交换且$\mathcal C$为$S$的任意素理想链，则存在$A$的$S$-良子代数，具有覆盖$\mathcal C$的素理想链。