高度与 Runge 定理的拟等价

设 $P$ 是一个依赖于两个变量 $X$ 和 $Y$ 且具有代数系数的多项式。若 $x$ 和 $y$ 是满足 $P(x,y)=0$ 的代数数，则由 N\'eron 的工作可知 $h(x)/q$ 渐近等于 $h(y)/p$，其中 $p$ 和 $q$ 分别为 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 中的偏次数。本文中，我们计算了关于 $P$ 的 $|h(x)/q-h(y)/p|$ 的完全显式界，其渐近增长为 $\max\{h(x),h(y)\}^{1/2}$。我们应用此界得到了关于某些多项式方程整数解的 Runge 定理的一个简单版本。