量子游走：Schur 函数邂逅对称保护拓扑相

本文揭示并利用了调和分析中的核心对象——所谓 Schur 函数——与量子物质的对称保护拓扑相这一热门话题之间的联系。这一联系发现于量子游走（即经典随机游走的量子类比）的框架中。我们证明，分类量子游走对称保护拓扑相的拓扑指标由该游走构造的矩阵 Schur 函数所编码。本文的主要结果将这些拓扑指标的计算化为一个线性代数问题：计算在对称保护点 $\pm1$ 处求值的此类矩阵 Schur 函数所得到的有限维酉算子的对称指标。Schur 表示完整覆盖了具有实现十重态中任一对称类型的对称群的 1D 量子游走的完整对称指标集。Schur 方法的主要优势在于其在缺乏平移不变性时仍成立，这使我们能超越标准傅里叶方法，从而对典型例子给出非平移不变相的完整分类。