量子行走中的对称性

图上的离散时间量子行走是将幺正演化算符重复作用于对应于该图的希尔伯特空间的过程。图上离散量子行走的命中时间给出了行走在达到结束条件之前的平均时间。我们利用超算符推导了命中时间的表达式，并针对超立方体上的行走，数值评估了各种硬币算符和退相干模型下的结果。我们表明，与经典行走相反，量子行走在某些初始状态下可能具有无限的命中时间。我们寻求判定图上给定行走是否会有无限命中时间的判据，并找到了其存在的充分条件。无限命中时间现象通常是图的对称性及其自同构群的结果。由自同构群给出的图对称性可以被演化算符继承。利用自同构群的不可约表示，我们推导了某些条件，使得定义在该图上的量子行走在某些初始状态下必然具有无限的命中时间。对称性还可能导致行走在某些初始状态下被限制在原始希尔伯特空间的一个子空间内。我们表明，限制在对应于该对称群的子空间内的量子行走，可以被视为在更小的商图上的不同量子行走，并给出了商图的显式构造。我们猜想，存在具有有限命中时间的小商图，是行走展现量子加速的必要条件。最后，我们利用对称性和无退相干子空间理论，来确定商图的子空间何时成为动力学的无退相干子空间。