量子算法与覆盖空间

本文中我们分离出至少部分负责近期在某些量子行走算法中观测到的计算加速的组合性质。我们发现连续时间量子行走可利用某些图的覆盖空间性质。我们证明，在覆盖较小图 X 的图 Y 上的量子行走可等价于较小图 X 上的量子行走。该等价仅当行走始于某些尊重图覆盖空间结构的初态——纤维常值态时发生。我们用 Cayley 图上的行走说明这些观测；我们表明 Cayley 图上纤维常值初态的行走等价于诱导 Schreier 图上的行走。我们还考虑构造高效门序列以模拟连续时间量子行走时间演化的问题。对于具有 2^n 个顶点的 m-环面图 T^m 上的行走，我们构造了使用 O(\poly(n)) 个门且与所模拟行走时间 t 无关的门序列（因此该序列可模拟指数长时间的行走）。我们论证存在一类基于图量子行走的广泛的非平凡算符可被高效测量。我们引入一类新的通用计算问题 HiddenCover，其将一般隐子群问题的一个变体作为子类包含在内。我们论证量子计算机应当能够利用覆盖空间结构来高效求解 HiddenCover 问题。