具有所有可能基数的 $6m$ 阶量子拉丁方

$n$ 阶量子拉丁方（记为 QLS$(n)$）是一个 $n\times n$ 的阵列，其元素为来自 $n$ 维 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_n$ 的单位列向量，且每一行和每一列均构成正交基。若存在实数 $\theta$ 使得 $|u\rangle=e^{i\theta}|v\rangle$，则两个单位向量 $|u\rangle, |v\rangle\in \mathcal{H}_n$ 被视为相同；否则视为不同。QLS$(n)$ 的基数 $c$ 是该阵列中不同向量的数量。在本文中，我们利用 sub-QLS$(6)$ 证明，对于任意整数 $m\geq 2$ 以及任意 $c\in [6m,36m^2]\setminus \{6m+1\}$，均存在一个基数为 $c$ 的 QLS$(6m)$。