量子群、非交换 $AdS_2$ 与双标度 SYK 模型中的弦

我们研究 SYK 的双标度极限（DS-SYK）模型，并阐明其底层的量子群对称性。DS-SYK 模型由参数 $q$ 刻画，在 $q\rightarrow 1$ 与低能极限下它过渡到熟知的 Schwarzian 理论。我们将弦与转移矩阵图像关联到欧氏 Poincar{\'e} 盘上“边界粒子”的运动，这构成了单侧 Schwarzian 模型的基础。$AdS_2$ 具有 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,{\mathbb R}) \simeq \mathfrak{s}\mathfrak{u}(1,1)$ 的作用，我们论证完整 DS-SYK 模型的对称性是后者的某种 $q$-形变，即 $\mathcal{U}_{\sqrt q}(\mathfrak{s}\mathfrak{u}(1,1))$。我们通过将 DS-SYK 的有效哈密顿量得到为在 $AdS_2$ 的格点形变上运动的粒子（的约化），而该形变以 $\mathcal{U}_{\sqrt q}(\mathfrak{s}\mathfrak{u}(1,1))$ 代数作为其对称性，从而做到这一点。我们还通过得到 DS-SYK 的有效哈密顿量作为在非交换形变的 $AdS_3$ 上运动的粒子（的约化），展示了其与 $q$-齐次空间非交换几何的联系。存在可能互异的 $q$-形变 $AdS_2$ 空间族，我们指出了其中哪些与 DS-SYK 模型相关。