von Neumann 代数量子群 $\mathrm{SU}_q(1,1)\rtimes \mathbb{Z}_2$ 与 DSSYK 模型

已知 SYK 的双标度极限（DSSYK）模型具有潜在的 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{su}(1,1))$ 量子群对称性。在本文中，我们首次为 DSSYK 模型的自由度与动力学提供了 von Neumann 代数量子群的理论描述。特别地，我们构造了 von Neumann 代数量子群 $\mathrm{SU}_q(1,1)\rtimes \mathbb{Z}_2$（即 $\mathrm{SU}(1,1)$ 在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 中正规化子的 $q$ 形变）的算子代数量子高斯分解，并推导了其量子齐性空间上的 Casimir 作用。然后我们证明了量子 AdS$_{2,q}$ 空间上的动力学可化归为 DSSYK 模型的动力学。此外，我们论证了将全局对称群扩展至其正规化子不仅对于局部紧量子群的一致定义是必要的，而且向 DSSYK 模型的化归仅在正规化子层面上有效。结果表明，von Neumann 代数描述对允许的量子化坐标给出了自然限制，优雅地确保了长度正定性与非负整数弦数。最后，我们对与奇异级数表示相关的关联函数作了注记，论证了该表示可在我们 $q$ 齐性空间的 AdS 与 dS 区域之间进行插值。