锥辛 resolutions 的量子化 II：范畴 $\mathcal O$ 与辛对偶

我们定义并研究了辛 resolution 的范畴 $\mathcal O$，推广了与 Springer resolution 相关联的经典 BGG 范畴 $\mathcal O$。这包括发展与 BGG 情形平行的内在性质，例如最高权结构以及 twisting 和 shuffling 函子的类比，并广泛讨论了具体实例。我们观察到范畴 $\mathcal O$ 通常是 Koszul 的，且其 Koszul 对偶通常等价于另一个辛 resolution 的范畴 $\mathcal O$。这引导我们定义了辛 resolution 之间的辛对偶概念，这是一组表示论结构与几何结构之间的同构，包括两个范畴之间的 Koszul 对偶。这种对偶具有各种上同调推论，包括（猜想地）识别了由 Nakajima 和 Ginzburg/Mirkovi\'c-Vilonen 给出的单连通单代数群简单表示的权空间的两种几何实现。Ivan Losev 撰写的附录确立了证明 $\mathcal O$ 为最高权范畴的关键步骤。